Cauchyn jono

Cauchyn jono eli Cauchy-jono on jono, jonka jäsenet kasautuvat mielivaltaisen lähelle toisiaan jonon edetessä eli joka toteuttaa ehdon:

jokaista positiivista lukua ${\displaystyle \epsilon >0}$ kohti voidaan valita sellainen posi­tiivinen kokonais­luku n, että ${\displaystyle |a_{n+p}-a_{n}|<\epsilon }$ kaikilla posi­tiivi­silla kokonais­luvuilla p.^[1]

Tätä kutsutaan Cauchyn suppenemisehdoksi ranskalaisen matemaatikon Augustin-Louis Cauchyn (1789−1857) mukaan, joka totesi, että reaalilukujen jono ${\displaystyle (a_{n})}$ suppenee, jos ja vain jos se toteuttaa ehdon.

Cauchyn jonot voidaan vastaavalla tavalla määritellä missä tahansa metrisessä avaruudessa, mutta tällöin ne eivät välttämättä suppene. Metristä avaruutta sanotaan täydelliseksi, jos siinä kaikki Cauchyn jonot suppenevat eli niillä on raja-arvo. Näin on laita esimerkiksi reaalilukujen joukossa. Sitä vastoin rationaalilukujen joukko ei ole metrisenä avaruutena täydellinen, sillä rationaaliluvuista voidaan muodostaa Cauchyn jonoja, joilla ei ole raja-arvoa rationaalilukujen joukossa. Sellainen on esimerkiksi lukujen ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ jono, ${\displaystyle n=1,2...}$, jonka raja-arvo reaalilukujen joukossa on Neperin luku e.

Cauchyn jonon alkioille ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...)}$ pätee ^[2]

${\displaystyle \lim _{\min(m,n)\rightarrow \infty }d(a_{m},a_{n})=0}$,

missä ${\displaystyle d}$ on avaruuden annettu metriikka (alkioiden etäisyys).

Rationaaliluvuista koostuvien Cauchyn jonojen ekvivalenssiluokkiin perustuvan reaalilukujen määritelmän esittivät vuonna 1872 ranskalainen Charles Méray (1835−1911) ja saksalainen Karl Weierstrass (1815−1897) oppilaineen.

Oletetaan ensin lukujonon ${\displaystyle (a_{n})}$ suppenevan.

Olkoon ${\displaystyle \displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}=b}}$ ja olkoon ${\displaystyle \epsilon >0}$. Koska ${\displaystyle (a_{n})}$ suppenee, niin on olemassa ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$ siten, että ${\displaystyle |a_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}}$, kun ${\displaystyle n>n_{0}}$. Kolmioepäyhtälön nojalla

${\displaystyle |a_{n}-a_{k}|=|a_{n}-b+b-a_{k}|}$ ${\displaystyle \leq |a_{n}-b|+|a_{k}-b|}$ ${\displaystyle <{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon ,}$

kun ${\displaystyle n>n_{0}}$ ja ${\displaystyle k>n_{0}}$.

Oletetaan sitten kaikilla ${\displaystyle \epsilon >0}$ olevan olemassa ${\displaystyle n_{\epsilon }\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$ siten, että lukujonolla ${\displaystyle (a_{n})}$ pätee ${\displaystyle |a_{n}-a_{k}|<\epsilon }$, kun ${\displaystyle n>n_{\epsilon }}$ ja ${\displaystyle k>n_{\epsilon }}$.

Tällöin on olemassa ${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$ siten, että ${\displaystyle |a_{n}-a_{n_{1}+1}|<1}$, kun ${\displaystyle n>n_{1}}$. Kolmioepäyhtälön nojalla

${\displaystyle |a_{n}|=|a_{n}-a_{n_{1}+1}+a_{n_{1}+1}|}$ ${\displaystyle \leq |a_{n}-a_{n_{1}+1}|+|a_{n_{1}+1}|}$ ${\displaystyle <1+|a_{n_{1}+1}|,}$

kun ${\displaystyle n>n_{1}}$. Koska joukko ${\displaystyle \{|a_{0}|,|a_{1}|,\dots ,|a_{n_{1}}|\}}$ on äärellinen, niin sillä on olemassa maksimi ${\displaystyle M=\max\{|a_{0}|,|a_{1}|,\dots ,|a_{n_{1}}|\}}$. Täten

${\displaystyle |a_{n}|\leq \max\{M,1+|a_{n_{1}+1}|\}}$

kaikilla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$, joten ${\displaystyle (a_{n})}$ on rajoitettu.

Koska ${\displaystyle (a_{n})}$ on rajoitettu, niin sillä on Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla suppeneva osajono ${\displaystyle (a_{n_{j}})}$.

Olkoon ${\displaystyle \epsilon >0}$ ja olkoon ${\displaystyle \displaystyle {\lim _{j\to \infty }{a_{n_{j}}}=b}}$. On olemassa ${\displaystyle j_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$ siten, että ${\displaystyle |a_{n_{j}}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}}$, kun ${\displaystyle j>j_{0}}$, koska ${\displaystyle (a_{n_{j}})}$ suppenee. Oletuksen nojalla on olemassa ${\displaystyle n_{\epsilon }\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$ siten, että ${\displaystyle |a_{n}-a_{k}|<{\frac {\epsilon }{2}}}$, kun ${\displaystyle n>n_{\epsilon }}$ ja ${\displaystyle k>n_{\epsilon }}$. Valitaan ${\displaystyle p=\max\{j_{0}+1,n_{\epsilon }+1\}}$, jolloin ${\displaystyle n_{p}>n_{n_{\epsilon }}\geq n_{\epsilon }}$. Tällöin kolmioepäyhtälön nojalla

${\displaystyle |a_{n}-b|=|a_{n}-a_{n_{p}}+a_{n_{p}}-b|}$ ${\displaystyle \leq |a_{n}-a_{n_{p}}|+|a_{n_{p}}-b|}$ ${\displaystyle <{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon ,}$

kun ${\displaystyle n>n_{\epsilon }}$. Täten ${\displaystyle \displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}=b}}$, joten ${\displaystyle (a_{n})}$ suppenee.

Siis osoitettiin lukujonon ${\displaystyle (a_{n})}$ suppenevan, jos ja vain jos kaikilla ${\displaystyle \epsilon >0}$ on olemassa ${\displaystyle n_{\epsilon }\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$ siten, että ${\displaystyle |a_{n}-a_{k}|<\epsilon }$, kun ${\displaystyle n>n_{\epsilon }}$ ja ${\displaystyle k>n_{\epsilon }}$. ${\displaystyle \square }$

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry.. ISBN 978-952-7010-12-9 Viitattu 8.7.2019. ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf)