Funktion toispuoleinen raja-arvo

Funktion toispuoleinen raja-arvo on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä, jossa käsitellään jatkuvien yhden muuttujan funktioiden raja-arvolaskentaa. Erotukseksi funktion raja-arvon yläkäsitteestä, funktion toispuoleisella raja-arvoilla tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun luvun lähiympäristössä sen toisella puolella eli lukusuoralla, joko luvun vasemmalla- tai oikealla puolella, pelkästään. Jos toispuoleinen raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio suppenee (muutoin hajaantuu) toispuoleisesti kyseisessä kohdassa. Useamman muuttujan funktioilla toispuoleisen raja-arvon sijasta käytetään sen laajennusta, suunnattua raja-arvoa, missä lähestymissuunnat voidaan valita suuntavektorin vastakkaisista suunnista.

Toispuoleista raja-arvoa voidaan käyttää funktion määrittelyalueen reunapisteessä, missä lähestymistä voi toteuttaa vain alueen sisäpuolelta. Yhden muuttujan funktion suljettu tai avoin määrittelyväli on tällainen esimerkki. Toispuoleisia raja-arvoja voidaan käyttää myös paloittain määriteltyjen funktioiden palojen määrittelyvälien reunoilla tai rajapisteessä.

Funktioiden jatkuvuustarkastelussa funktion arvoa verrataan sen vasemman- ja oikeanpuoleisen raja-arvoihin. Funktio on jatkuva, jos molemmat toispuoleiset raja-arvot ovat keskenään samat ja yhtäsuuret kuin funktion arvo sen kasautumispisteessä. Myös funktion derivoituvuuden tutkiminen voidaan suorittaa kahdella toispuoleisella raja-arvolla, missä haetaan erotusosamäärän arvoja eri suunnissa.

Usean muuttujan funktioiden sekä suunnattujen derivaattojen tutkiminen annetussa vektorisuunnassa ${\displaystyle \mathbf {u} }$ tapahtuu toispuoleisten raja-arvojen avulla.

Karl Weierstrassin esittämä määritelmä tunnetaan nimellä epsilon-delta-tekniikka. Siinä raja-arvon olemassaolo todistetaan etsimällä luvuille epsilon (${\displaystyle \epsilon }$) ja delta (${\displaystyle \delta }$) välille riippuvuus, josta voidaan näyttää suppenemisen tapahtuvan varmasti. Menetelmä on pääpiirteissään seuraava.^[1]

Funktion ${\displaystyle f}$ realilukuarvoinen määrittelyjoukko on ${\displaystyle A}$ niin, että ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ on reaaliarvoisen funktion kuvaus. Määrittelyjoukossa on väli, josta puuttuu sisältä luku p, eli ${\displaystyle \diagdown \{p\}}$ (luku p voi sisältyä väliin, mutta se ei ole välttämätöntä). Funktiolla on raja-arvo L kohdassa p, jos kaikilla luvuilla ${\displaystyle \epsilon >0}$ on aina olemassa luku ${\displaystyle \delta >0}$ siten, että

${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<|x-p|<\delta .}$ ^[2]

Siis, valittiinpa positiivinen luku ${\displaystyle \epsilon }$ kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku ${\displaystyle \delta }$ siten, että kaikilla korkeintaan ${\displaystyle \delta }$:n etäisyydellä olevilla luvuilla ${\displaystyle x}$ ovat funktion ${\displaystyle f(x)}$ arvot korkeintaan ${\displaystyle \epsilon }$:n etäisyydellä raja-arvosta L. Toistamalla ${\displaystyle \epsilon }$:n pienentämisen, tulisi myös ${\displaystyle \delta }$ pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun ${\displaystyle \delta }$:n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun ${\displaystyle \epsilon }$.^[3]

Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riippu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen x ja p erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, x lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa.

Oikeanpuoleinen raja-arvo määritellään niin, että koska luvut x ovat lukua p suurempia eli lukusuoralla lähestytään lukua p oikealta puolelta, lasketaan deltan arvo ${\displaystyle x-p}$. Silloin epsilon-delta-tekniikassa toteutetaan ehtoja

${\displaystyle \lim _{x\to p+}f(x)=L^{+}\Leftrightarrow |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<x-p<\delta .}$

Raja-arvon L yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä.^[2][4][5]

Vasemmanpuoleisessa raja-arvossa lukua p lähestytään lukusuoralla vasemmalta päin, koska luvut x ovat aina lukua p pienempiä. Epsilon-delta-tekniikassa suppeneminen toteuttaa ehdot

${\displaystyle \lim _{x\to p-}f(x)=L^{-}\Leftrightarrow |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<p-x<\delta .}$ ^[2][4][5]

Kun funktion raja-arvoa tarkastellaan suljetun välin tai -alueen reunapisteissä, tarvitaan toispuoleista raja-arvoa. Välin sisäpisteissä voidaan lähestyä tarkastelupistettä kummaltakin puolelta, mutta reunapisteissä lähestyminen on mahdollista vain eräistä suunnista. Avoimen välin tai -alueen raja-arvot reunassa ovat samasta syystä ongelmallisia.

Välin tai alueen sisäpisteiden raja-arvo tulisi määritelmän mukaan olla aina sama lähestyttiimpä tarkastelupistettä mistä suunnasta hyvänsä. Raja-arvo on siten olemassa vain, kun kaikki mahdolliset toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja samat.^[5][6]

Funktion jatkuvuus tarkastelupisteessä on määritelty niin, että funktion arvo on sama kuin välin molemmat toispuoleiset raja-arvot tai alueen kaikki toispuoleiset raja-arvot.^[7]

Funktion toispuoleiset derivaatat määritellään funktion erotusosamäärän toispuoleisilla raja-arvoilla. Jotta funktion derivaatta olisi olemassa, tulee kaikki toispuoleiset raja-arvot olla samoja.^[8][9]

• Alatupa, Sami & Hassinen, Sanna & Hemmo, Katariina & Leikas, Mika: Pitkä Sigma 7. (lukion pitkän matematiikan oppikirja) Helsinki: Sanoma Pro, 2014. ISBN 978-952-63-0307-9
• Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko: Pyramidi 13 – Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi. (lukion pitkän matematiikan oppikirja) Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5407-9
• Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (Arkistoitu – Internet Archive), (luentomoniste), Helsingin yliopisto, 1999