Konvoluutio

Matematiikassa ja erityisesti funktionaalianalyysissä konvoluutio on kahden funktion ${\displaystyle f\ }$ ja ${\displaystyle g\ }$ välille määritelty operaatio, joka tuottaa uuden funktion ${\displaystyle f*g\ }$.^[1] Konvoluutiota käytetään tilastotieteessä, signaalinkäsittelyssä ja differentiaalilaskennassa. Erityisesti diskreettiä konvoluutiota käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä signaalin suodattamiseen.

Konvoluutio voidaan kuvata kahden signaalin yhteisenä pinta-alana siirroksen funktiona, kun jälkimmäinen signaali ensin käännetään y-akselin suhteen ja tämän jälkeen liikutetaan sitä x-akselilla positiiviseen suuntaan.

Konvoluutio määritellään jatkuville funktioille integraalina

${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )d\tau }$

tai tämän kanssa yhtäpitävästi

${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau .}$

Määritelmissä integrointi ulottuu funktioiden määrittelyalueen yli. Konvoluutio voidaan jakaa integroinnin kannalta lineaariseen konvoluutioon ja jaksolliselle funktioille määriteltyyn ympyräkonvoluutioon.

Diskreeteille funktioille konvoluutio määritellään vastaavasti sarjakehitelmänä

${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f(k)g(n-k)}}$.

Lukuteoreettisille funktioille on määritelty Dirichlet'n konvoluutio:

${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{k|n,k>0}{f(k)g(n/k)}\,.}$

Konvoluution ominaisuudet vastaavat monia reaalilukujen kertolaskun ominaisuuksia:

• Assosiatiivisuus

${\displaystyle (h*f)*g=h*(f*g)\,}$

• Distributiivisuus

${\displaystyle h*(f+g)=h*f+h*g\,}$

• Kommutatiivisuus

${\displaystyle f*g=g*f\,}$

• Skalaarimonikerta

${\displaystyle a(f*g)=(af)*g=f*(ag)\,,\quad a\in \mathbb {R} }$

• Konvoluution derivaatta

${\displaystyle D(f*g)=Df*g=f*Dg\,}$

Tärkeimpiä konvoluution ominaisuuksia on konvoluutioteoreemana tunnettu ominaisuus, jonka mukaan kahden funktion konvoluution Fourier-muunnos on näiden funktioiden Fourier-muunnosten tulo, eli

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(x)*g(x)\}=F(\omega )G(\omega )}$,

missä ${\displaystyle F(\omega )\ }$ ja ${\displaystyle G(\omega )\ }$ ovat funktioiden ${\displaystyle f(x)\ }$ ja ${\displaystyle g(x)\ }$ Fourier-muunnoksia. Teoreema pätee myös Laplace-muunnokselle ja diskreetissä tapauksessa Z-muunnokselle. Konvoluutioteoreema pätee myös monille muille integraalimuunnoksille.

• Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9