Kääntyvä matriisi

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. Tarkennus: Käytännössä lähteetön

Lineaarialgebrassa n×n-matriisia (eli neliömatriisia ^[1]) A sanotaan kääntyväksi, säännölliseksi tai epäsingulaariseksi, jos on olemassa sellainen n×n-matriisi B, että

${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}={\boldsymbol {BA}}={\boldsymbol {I}}_{n}\,}$,

missä I_n on n×n yksikkömatriisi ja kertolaskuna on matriisien tavallinen kertolasku.^[2] Matriisia, joka ei ole kääntyvä, sanotaan singulaariseksi. Yllä olevassa ehdossa matriisi A määrää yksikäsitteisesti B:n ja matriisia B sanotaan A:n käänteismatriisiksi ja merkitään

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\,}$

Kannattaa huomata, että jos matriiseille A ja B pätee

${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}={\boldsymbol {I}}\,}$

niin välttämättä myös

${\displaystyle {\boldsymbol {BA}}={\boldsymbol {I}}\,}$,

vaikka matriisien kertolasku ei olekaan yleisessä tapauksessa kommutatiivinen. Tämä säästää aikaa, jos matriisi halutaan varmistaa annetun matriisin käänteismatriisiksi. Vaikka matriisin alkiot ovat useimmiten reaali- tai kompleksilukuja, kaikki määritelmät ovat voimassa myös, jos matriisin alkiot otetaan mielivaltaisesta renkaasta. Käänteismatriisia vastaava lineaarikuvaus on alkuperäistä matriisia vastaavan lineaarikuvauksen käänteisfunktio.

Jos n×n-matriisi A on säännöllinen, seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä:

1. Matriisin ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ determinantti ${\displaystyle \det({\boldsymbol {A}})\neq 0}$.^[2]
2. Matriisin ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ kanssa riviekvivalentti redusoitu porrasmatriisi on ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}_{n}\,}$.
3. Matriisin ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ aste ${\displaystyle r({\boldsymbol {A}})=n\,}$.

Koska matriisit vastaavat lineaarikuvauksia ja koska käänteismatriisi vastaa lineaarikuvauksen käänteisfunktiota, tarkoittaa matriisin kääntymättömyys sitä, että vastaavalla lineaarikuvauksella ei ole käänteisfunktiota (ja toisin päin). Tämä tarkoittaa että jokainen matriisi, jonka lineaarikuvaus kuvaa kaksi eri vektoria samaksi vektoriksi, on kääntymätön. Yksinkertaisin esimerkki on nollamatriisi (kaikki alkiot nollia), joka kuvaa kaikki vektorit origoon. Samoin matriisi on kääntymätön, mikäli kaksi tai useampia sen sarakevektoreista on keskenään yhdensuuntaisia, jolloin vastaava lineaarikuvaus pudottaa vektoreista ulottuvuuden. Muitakin mahdollisuuksia on.

Singulaarisia matriiseja on kuitenkin siinä mielessä äärimmäisen harvassa, että niiden joukon Lebesguen mitta on nolla (vastaava pätee mm. luonnollisiin lukuihin). Tämä tarkoittaa sitä, että jos valitaan matriisin arvot satunnaisesti reaalilukujen joukosta, on todennäköisyys sille, että matriisi ei ole kääntyvä 0. Tämä seuraa siitä, että Cayleyn–Hamiltonin lauseen mukaan matriisit voidaan ajatella polynomiyhtälön nollakohtina. Voidaan myös helposti osoittaa, että vaikka matriisi A on singulaarinen, on olemassa sellainen luku r > 0, että matriisin

${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}+\epsilon {\boldsymbol {I}})\,}$

käänteismatriisi on olemassa, kun ${\displaystyle 0<|\epsilon |<r}$. Toisin sanoen mielivaltaisen pieni muutos matriisin päädiagonaalin alkioiden arvoihin tekee singulaarisesta matriisista kääntyvän. Käytännön sovelluksissa voidaan kuitenkin törmätä singulaarisiin matriiseihin.

Myös numeerisessa matematiikassa matriisit voivat olla kääntyviä, mutta käänteismatriisin muodostaminen voi olla hankalaa numeerisista virheistä johtuen.

Matriisin kääntämisellä tarkoitetaan algoritmia, jolla annetun matriisin käänteismatriisi voidaan löytää.

Jos annetulla matriisilla on käänteismatriisi, se voidaan muodostaa jakamalla sen liittomatriisin eli adjungoidun matriisin kaikki komponentit annetun matriisin determi­nantin arvolla. Toisin sanoen, jos matriisin A adjungoidulle matriisille käytetään merkintää adj(A) ja A:n determi­nan­tille merkintää det(A), on matriisin A käänteis­matriisi

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\frac {adj({\boldsymbol {A}})}{det({\boldsymbol {A}})}}}$^[3]

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).