Senaarijärjestelmä

Senaarijärjestelmä (kuusijärjestelmä) on lukujärjestelmä, jonka kantaluku on 6. Lukujen esittämiseen käytetään numeroita 0–5. Kuusijärjestelmän lukuja merkitään alaindeksillä ₆.

Kuusijärjestelmää sopii hyvin esimerkiksi alkulukujen tutkimiseen, koska kaikki alkuluvut, paitsi luvut 2 ja 3, päättyvät järjestelmässä joko numeroon 1 tai 5. Toisin sanoen, jos p on alkuluku, niin p ≡ 1 (mod 6) tai p ≡ 5 (mod 6).

Yllä oleva ominaisuus todistetaan kongruenssin ominaisuuksien perusteella. Nimittäin jos x ≡ a (mod n), niin x = k n + a, missä x, a, k, n ovat tiettyjä kokonaislukuja.

Tarkastellaan nyt alkulukua p modulo 6.

Ensinnäkin p ei ole parillinen. Näin ollen mikään ehdoista p ≡ 0 (mod 6), p ≡ 2 (mod 6) tai p ≡ 4 (mod 6) ei ole voimassa, koska muuten voisi esimerkiksi olla p = 6k + 4 = 2(3k + 2) jollain kokonaisluvulla k osittelulain nojalla.

Toisaalta tiedetään esimerkeistä, että on olemassa alkulukuja, jotka toteuttavat joko yhtälön p ≡ 1 (mod 6) tai p ≡ 5 (mod 6). Riittää siis tarkastella vielä tapausta p ≡ 3 (mod 6).

Jos p ≡ 3 (mod 6), niin p = 6k + 3 = 3(2k + 1) jollain k, jälleen osittelulain perusteella. Toisin sanoen, on olemassa alkuluku p, joka on jaollinen luvulla 3, joten p ei ole alkuluku. Tämä on ristiriita, joten oletuksen p ≡ 3 (mod 6) täytyy olla väärä ja alkuperäinen väite tosi. M.O.T.

Huomautettakoon, että kaikki senaarijärjestelmässä numeroihin 1 tai 5 päättyvät luvut eivät kuitenkaan ole alkulukuja. Esimerkiksi luku 25 = 41₆ on neliöluku, eikä siis alkuluku. Luku 7775 = 55555₆ on puolestaan jaollinen 25:llä, eikä sekään näin ollen ole alkuluku.

Murtolukujen vertailua kymmen- ja senaarijärjestelmissä

Murtoluku	Kymmenjärjestelmä	Senaarijärjestelmä
1:2	${\displaystyle 0{,}5}$	${\displaystyle 0{,}3}$
1:3	${\displaystyle 0{,}{\bar {3}}}$	${\displaystyle 0{,}2}$
1:4	${\displaystyle 0{,}25}$	${\displaystyle 0{,}13}$
1:5	${\displaystyle 0{,}2}$	${\displaystyle 0{,}{\bar {1}}}$
1:6	${\displaystyle 0{,}1{\bar {6}}}$	${\displaystyle 0{,}1}$
1:7	${\displaystyle 0{,}{\overline {142857}}}$	${\displaystyle 0{,}{\overline {05}}}$
1:8	${\displaystyle 0{,}125}$	${\displaystyle 0{,}043}$
1:9	${\displaystyle 0{,}{\bar {1}}}$	${\displaystyle 0{,}04}$
1:10	${\displaystyle 0{,}1}$	${\displaystyle 0{,}0{\bar {3}}}$
1:11	${\displaystyle 0{,}{\overline {09}}}$	${\displaystyle 0{,}{\overline {0313452421}}}$
1:12	${\displaystyle 0{,}08{\bar {3}}}$	${\displaystyle 0{,}03}$
1:13	${\displaystyle 0{,}{\overline {076923}}}$	${\displaystyle 0{,}{\overline {024340531215}}}$
1:14	${\displaystyle 0{,}0{\overline {714285}}}$	${\displaystyle 0{,}0{\overline {23}}}$
1:15	${\displaystyle 0{,}0{\bar {6}}}$	${\displaystyle 0{,}0{\bar {2}}}$
1:16	${\displaystyle 0{,}0625}$	${\displaystyle 0{,}0213}$