Tapahtumien riippuvuus

Tapahtumien riippuvuus ^[1] on todennäköisyyslaskennassa peruskäsite, jossa saman satunnaisilmiön perusjoukossa ${\displaystyle \Omega }$ kahden tapahtuman todennäköisyydet riippuvat toisistaan. Näiden todennäköisyydet tulee määrittää käyttäen ehdollista todennäköisyyttä. Mikäli tapahtumien todennäköisyydeksi tulee sama tulos kuin ilman ehdollista todennäköisyyttä, ovat tapahtumat riippumattomia. Riippumattomuutta voidaan merkitä käyttämällä merkkiä ${\displaystyle \perp .}$^[2][1][3]

Riippuvien tapahtumien todennäköisyyksiin käytetään ehdollista todennäköisyyden käsitettä. Riippuvuuden määrä on usein tuntematon, joten se huomioidaan laskemalla erikseen riippuvien tapahtumien todennäköisyydet, jolloin yhteisestä todennäköisyydestä tulee

${\displaystyle P(A{\text{ ja }}B)=P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(A|B)\cdot P(B).}$ (riippuvien tapahtumien kertolaskusääntö)

Kaksi jälkimmäistä laskutapaa voidaan käyttää toistensa vaihtoehtoina.^[2][3]

Kun tarkastellaan kolmea tapahtumaa, jotka riippuvat toisistaan, voidaan laskea yhteinen todennäköisyys

${\displaystyle P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B|A)\cdot P(C|A\cap B),}$

mikäli molemmat ehdolliset todennäköisyydet ovat olemassa. Useammassa tapahtumassa ehdollisia todennäköisyyksiä tulee huomioida enemmän. Jos tapahtumat ovat ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}$, saadaan

${\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n})=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot \cdot \cdot P(A_{n}|A_{1}\cap ...\cap A_{n-1}).}$ ^[4]

Kaksi tapahtumaa ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ ovat riippumattomia eli ${\displaystyle A\perp B}$, jos ja vain jos ne toteuttavat todennäköisyyden kertolaskusäännön

${\displaystyle P(A{\text{ ja }}B)=P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).}$ ^[2] (riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö)

Riippumattomassa tapauksessa ehdolliset todennäköisyydet ovat samat kuin yksittäiset todennäköisyydet (vertaa riippuvat tapaukset) eli ^[2][3]

${\displaystyle P(A|B)=P(A)}$

ja

${\displaystyle P(B|A)=P(B).}$

Jos tapahtumat ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ ovat riippumattomia, niin silloin ovat myös ${\displaystyle {\bar {A}}\perp B}$, ${\displaystyle A\perp {\bar {B}}}$ sekä ${\displaystyle {\bar {A}}\perp {\bar {B}}}$ riippumattomia, missä viivalla merkityt ovat tapahtumien vastatapahtumat.^[1]

Tapahtumat ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ja ${\displaystyle C}$ voivat olla pareittain riippumattomat. Tämä ei tee kaikkia kolmea tapahtumaa keskenään riippumattomiksi, vaan myös kolmen tapauksen todennäköisyyksien tulo on oltava tapahtumista riippumaton. Kolmen tapahtuman riippumattomuuteen vaaditaankin neljä ehtoa: ^[1][5]

${\displaystyle A\perp B\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B)}$

${\displaystyle A\perp C\Leftrightarrow P(A\cap C)=P(A)P(C)}$

${\displaystyle B\perp C\Leftrightarrow P(B\cap C)=P(B)P(C)}$

${\displaystyle P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)}$

Riippumattomuus toteutuu vastavasti useammalle tapahtumalle.

Kolmen riippumattoman tapahtuman yhteinen todennäköisyys on

${\displaystyle P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C),}$

ja usean riippumattomien tapahtumien ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}$ yhteinen todennäköisyys on

${\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot \cdot \cdot P(A_{n}).}$ ^[4]