Yhdiste (matematiikka)

Tämä artikkeli käsittelee joukko-opillista yhdistettä. Katso sanan muut merkitykset täsmennyssivulta.

Yhdiste eli unioni on joukko-oppiin liittyvä käsite. Joukkojen A ja B yhdisteeseen kuuluvat ne alkiot, jotka sisältyvät jompaankumpaan tai molempiin joukoista A ja B. Joukkojen A ja B yhdistettä merkitään A ∪ B.

Muodollisesti joukkojen A ja B yhdiste määritellään seuraavasti:

$A\cup B=\{x\,|\,x\in A\vee x\in B\}$ .^[1]

Esimerkkejä

{1, 2, 3} ∪ {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
{a, b, c, d} ∪ {a, c} = {a, b, c, d}
Rationaalilukujen joukon ja irrationaalilukujen joukon yhdiste on reaalilukujen joukko.

Ominaisuuksia

Olkoot $A$ , $B$ ja $C$ joukkoja.

Joukkojen yhdisteelle pätee vaihdannaisuus $A\cup B=B\cup A$ ja liitännäisyys $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ .
Joukkojen yhdisteelle ja leikkaukselle pätevät osittelulait $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ ja $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ .
Lisäksi yhdisteelle pätee idempotenssi $A\cup A=A$ , ja joukon ja tyhjän joukon leikkaukselle pätee $A\cup \emptyset =A$ . ^[2]^[3]

Katso myös

Lähteet

↑ Basic Set Theory, s. 2. American Mathematical Soc., 2002. ISBN 9780821827314 (englanniksi)
↑ Halmos, Paul R.: Naive Set Theory. Springer-Verlag, 1974. ISBN 978-0-387-90092-6 (englanniksi)
↑ Apostol, Tom M.: Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra. Wiley, 1975. ISBN 978-0-471-00005-1 (englanniksi)

Kirjallisuutta

Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6

[1] Basic Set Theory, s. 2. American Mathematical Soc., 2002. ISBN 9780821827314 (englanniksi)

[2] Halmos, Paul R.: Naive Set Theory. Springer-Verlag, 1974. ISBN 978-0-387-90092-6 (englanniksi)

[3] Apostol, Tom M.: Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra. Wiley, 1975. ISBN 978-0-471-00005-1 (englanniksi)

[1]

[2]

[3]