Hilbertin avaruus

Nykymaailmassa Hilbertin avaruus:stä on tullut erittäin tärkeä ja kiinnostava aihe laajalle yhteiskunnalle. Hilbertin avaruus on onnistunut kiinnittämään miljoonien ihmisten huomion eri puolilla maailmaa joko kulttuuriin, talouteen, politiikkaan tai tieteeseen kohdistuvan vaikutuksensa vuoksi. Sen vaikutus ulottuu eri alueille ja sen tutkimisesta ja ymmärtämisestä on tullut olennaista nykydynamiikan ymmärtämisessä. Tässä artikkelissa perehdymme Hilbertin avaruus:n kiehtovaan maailmaan, tutkimme sen eri puolia ja analysoimme sen merkitystä nyky-yhteiskunnassa.

Hilbertin avaruus on keskeinen käsite funktionaalianalyysissa. Se on nimetty näitä avaruuksia tutkineen matemaatikko David Hilbertin mukaan. Hilbertin avaruudet ovat täydellisiä sisätuloavaruuksia.[1] Hilbertin avaruus on siis vektoriavaruus, jossa jokainen Cauchyn jono suppenee sisätulon indusoimalla metriikalla mitaten.

Kvanttimekaniikasta löytyy Hilbertin avaruuksien teorialle tärkeä sovellus, sillä kvanttimekaanista systeemiä voidaan kuvailla Hilbertin avaruuksiin läheisesti liittyvien käsitteiden kautta. Systeemillä tarkoitetaan tässä mitä tahansa maailmasta identifioitavissa olevaa osaa kuten esimerkiksi elektronia tai Aurinkokuntaa. Kulloinkin käytettävä Hilbertin avaruus riippuu tarkasteltavasta systeemistä.

Lähteet

  1. Kari Astala, Petteri Piiroinen ja Hans-Olav Tylli: Funktionaalianalyysin peruskurssi (PDF) (Sivu 63) wiki.helsinki.fi. Arkistoitu 9.8.2014. Viitattu 29.12.2011. (suomeksi)

Kirjallisuutta

  • Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (Opintomoniste 15) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7
  • Jalava, Väinö: Johdatus funktionaalianalyysiin. (Opintomoniste 95) Tampere: TTKK, 1983. ISBN 951-720-831-6
  • Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 844–858. ("Hilbert", "Invarianssiteoria", "Hilbertin Zahlbericht", "Geometrian perusteet", "Hilbertin probleemat", "Hilbert ja analyysi", "Waringin probleema ja Hilbertin vuoden 1909 jälkeiset työt") Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6